Soal Persiapan Olimpiade Matematika SD-SMP : Bilangan

Berikut ini adalah beberapa contoh soal yang saya kira sangat berguna untuk melatih siswa SD dan SMP dalam menghadapi lomba olimpiade matematika. Soal-soal berikut yang saya lengakapi dengan penyelesaiannya bisa dijadikan bahan perbandingan dalam menyelesaikan soal-soal lain yang sejenis.

Soal-soal dan penyelesaian yang saya maksud di atas adalah sebagai berikut.

1.        Carilah semua bilangan bulat positif yang kurang dari 1000 sedemikian hingga jumlah digit pertama dan digit terakhirnya 10

Jawab :

Karena jumlah angka pertama dan angka terakhirnya adalah 10, maka pasangan angka pertama dan angka terakhir yang mungkin adalah (1,9), (2,8), (3,7), (4,6), dan (5,5)

Untuk (1,9)

a.       Tanpa angka tengah 2 angka yaitu 19 dan 91

b.      Satu angka ditengah 20 angka, yaitu 109 … 199 (10 angka) dan kebalikanya (10 angka)

c.       Dua angka tengah : banyaknya sesuai jumlah kombinasi 2 angka dari angka 0 sampai 9 yaitu 10! : 2! = 10 x 9 = 90 dikurangi dengan 10 pasang angka yang sama yaitu 00, 11, … 99. Sehingga jumlahnya adalah 80.

Total jumlah semua bilangan untuk kombinasi dua angka ditengah adalah 160 ( dikali 2, karena satu bentuk berawal 1 dan berakhir 9 dan bentuk lainya merupakan kebalikannya)

Sehingga keseluruhannya adalah 182 angka.

Dengan cara yang sama kita dapatkan pula banyak kombinasi angka untuk pasangan (2,8), (3,7), (4,6), dan (5,5)

Dan akhirnya kita akan dapatkan total keseluruhan banyak bilangan adalah :

182 + 182 + 182 + 182 + 91 = 819 (ingat : pasangan (5,5) hanya dihitung sekali saja)

 

2.        Hitunglah hasil dari 12 – 22 + 32 – 42 + 52 – 62 + …. + 20092 – 20102 + 20112

Jawab :

12 – 22 dapat diubah menjadi (1 – 2) (1 + 2) = – 1 – 2, 32 – 42 dapat diubah menjadi (3 – 4)(3 + 4) = – 3 – 4, dan seterusnya.

Sehingga bentuk tersebut dapat diubah menjadi :

-1. -2, -3, -4, -5, -7, … , -2009, -2010, 20112 , atau :

- (1 + 2 + 3 + 4 + … + 2009 + 2010) + 20112

- ½ x 2010 x 2011 + 20112

2011 (-1005 + 2011)

2011 x 1006 = 2023066

 

3.        Manakah yang merupakan bilangan prima ?

1111 – 11,            77 – 7,                         55 – 5,                         33 – 3,                         22 – 2

Jawab :

1111 – 11 = 11 (1110 – 1)           ⟾ bukan prima (bisa dibagi 11)

77 – 7 = 7 (76 – 1)                       ⟾ bukan prima (bisa dibagi 7)

55 – 5 = 5 (54 – 1)                       ⟾ bukan prima (bisa dibagi 5)

33 – 3 = 3 (32 – 1)                       ⟾ bukan prima (bisa dibagi 3)

22 – 2 = 2 (2 – 1) = 2                 ⟾ prima

 

4.        Carilah seluruh pasangan bilangan yang mempunyai FPB  4 dan KPK 120

Jawab :

FPB 4 berarti bersama yang tekecil dari kedua bilangan adalah 22

KPK 120 berarti faktor-faktor terbesar dari kedua bilangan adalah 23 . 3 . 5,

Maka pasangan bilangannya adalah

22 dengan 23 . 3 . 5         ⟾       4 dengan 120

22 . 3 dengan 23 . 5         ⟾       12 dengan 40

22 . 5 dengan 23 . 3         ⟾       20 dengan 24

22 . 3. 5 dengan 23 ⟾       60 dengan 8

 

5.        Berapa digit satuan dari 17103 + 5?

Jawab :

Karena yang diminta hanya angka satuanya saja, maka kita cukup hanya memperhatikan angka terakhir dari 7103

Jika kita urutkan mulai dari 71, 72, 73, 74, dan seterusnya, maka kita akan dapatkan  pola angka satuanya sebagai berikut :

7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, … dengan pola yang berulang 7, 9, 3, 1

Dan jika kita tambahkan dengan 5, maka kita dapatkan pola angka satuan sebagai berikut :

2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, … dengan pola pengulangan angka 2, 4, 8, 6

Yang artinya untuk pangkat yang tepat habis dibagi 4, maka angka satuannya = 2, jika bersisa 1, maka angka satuannya 4, jika bersisa 2, maka angka satuanya 8, dan jika bersisa 3, maka angka satuanya 6

Dan karena pangkatnya 103, serta 103 = 25 x 4 + 3, maka angka terakhirnya adalah 6

 

6.        Dengan menggunakan digit-digit 0, 1, 2, 3, … , 9, masing-masing hanya sekali. Buatlah dua buah bilangan bulat positif 5 angka yang berbeda sedemikian hingga selisih positif dari kedua bilangan itu paling kecil

Jawab :

Karena kedua bilangan berbeda dan angka-angka penyusunya juga berbeda, maka selisih paling kecil adalah 11111

Yang salah satunya dipenuhi oleh 59731 dan 48620, sedangkan angka-angka lain dapat diperoleh dengan membolak-balikan susunan angka tersebut.

 

7.        Jika 1998 = psqtru, dengan p, q, dan r bilangan prima, hitunglah p + q + r + s + t + u?

Jawab :

1998 = 2. 33. 37

Sehingga p + q + r + s + t + u = 2 + 3 + 37 + 1 + 3 + 1 = 47

 

8.        Jika m bilangan bulat positif, tentukan nilai m yang menyebabkan 2002 : (m2 – 2) juga merupakan bilangan bulat positif

Jawab :

Karena 2002 = 2. 7. 11. 13, maka m2 – 2 harus sama dengan nilai salah satu faktor atau hasil kali sebagian atau seluruh faktor tersebut.

Dan yang memenuhi m sebagai bilangan bulat positif adalah :

m2 – 2 = 2, dengan m = 2

m2 – 2 = 7, dengan m = 3

m2 – 2 = 14, dengan m = 4

 

9.        Tentukan sisa pembagian 132011 oleh 10

Jawab :

Karena dibagi 10, maka sisa pembagiannya adalah angka satuan dari bilangan tersebut. Dan untuk mendapatkan angka satuannya, kita cukup dengan memperhatikan angka satuan dari 32011.

Untuk itu perhatikan pola angka satuan dari 3, 32, 33, 34, 35, … sebagai berikut :

3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, … dengan pola pengulangan 3, 9, 7, 1

Karena 2011/4 = 502 bersisa 3, maka sebagaimana pada pembahasan soal nomor 5 di atas, kita dapatkan angka satuannya adalah 1

Berarti sisa pembagianya adalah 1

 

10.    Hasil kali angka-angka dari bilangan dua digit N adalah M. Tentukan N, jika M + N = 118.

Jawab :

Misalkan N adalah bilangan dengan a sebagai digit puluhan dan b sebagai digit satuan

M = ab

N = 10a + b

M + N = 118

ab + 10a + b = 118

karena a dan b adalah digit satuan yang merupakan bilangan bulat positif mulai dari 0 hingga 9 dan a tidak nol, maka kita tinggal mencari mana yang cocok.

Jika a = 1, maka b = 45               ⟾       tidak cocok

Jika a = 2, maka b = 32,67         ⟾       tidak cocok

Jika a = 3, maka b = 22               ⟾       tidak cocok

Jika a = 4, maka b = 15,6            ⟾       tidak cocok

Jika a = 5, maka b = 11,33         ⟾       tidak cocok

Jika a = 6, maka b = 8,28            ⟾       tidak cocok

Jika a = 7, maka b = 6                 ⟾       cocok

Maka N adalah 76

Dari sederet penyelesaian di atas, sangat mungkin terdapat kesalahan-kesalahan, maka dengan senang hati saya akan menerima berbagai masukan dan pembetulan dari penyelesaian tersebut. Saya pun sangat berharap kepada para pembaca untuk dapat saling berbagi dengan saya. Demikian postingan saya kali ini semoga bermanfaat. Wassalam .

About these ads

Tentang labarasi

Guru Matematika

Posted on Januari 4, 2011, in Matematika and tagged , , , , , , , , , , , , , , , , , . Bookmark the permalink. 23 Komentar.

  1. dasar pakar matematika,isi dapurnya kebnyakan angka2 melulu..pusing boss>> tapi,bagus lho.. td si kembar mengkopinya.
    Makasih…makasih… makasih…!!

  2. Salam…
    Tulisan Anda bagus-bagus.
    Teruslah menulis demi kemajuan negeri ini.

    Nanti saya akan buatkan tips nulis blog di blog saya ya…
    Trims.

  3. pusinggggggggggggggggggggggggg………………………

  4. cari soal gx dpt2!!!!!!!!!!!!
    capexxxxxxxxxxxxxxxx dechhhhhhh…….

  5. hexxxx dech……………….

  6. boleh aq ksh soal ngak cz aq ngk tau jwbannya?

  7. lintang nawangsari

    pak, untuk soal no. 1, kenapa dimasukkan sisipan dua digit? kan bilangannya kurang dari 1000, berarti mentoknya 999 dong? berarti cuma satu digit sisipannya.

  8. Mas, bisa bantu soal dibawah ini, anak Om Bakti tanya…

    Pemecahan soal dari:

    1^3-2^3+3^3-4^3+…+49^3-50^3; berapa nilai dari penjumlahan tersebut???

    Terima kasih

  9. bapak bisa ga bantu menyelesaikan ni soal…..hasil kali dua bilangan positif adlh 16
    carilah bilangan2 itu
    a.jika jmlahnya pling kcil
    b. jumlah salah satu bilangan dengan kuadrat bil lain adalah paling kecil
    ni pilhan jawabanya
    a.4,4
    b. 8,2

    terimah kasih sebelimnya telah membaca

  10. bapak bgaimana dengan analisis saya:
    a.(4,4)…….syarat a=4+4=8
    (8,2)……………….a=8+2=10

    b.(4,4)……syarat b=4+(4*4)=48
    (8,2)…….syarat b=8+(2*2)=12

    yg bikin saya bingung…ketika masuk ke syarat a maka jawabbanya adalah (4,4)…tapi ketika masuk ke syarat b maka jawabannya adalh (8,2)…….entah analisis saya yg ngawur apa saya emang ga ngerti maksud dari soal ini…karena pandangan versi saya ni soal dua syarat minta satu jawaban apakah (4,4) atau (8,2)….mohon pak minta pendapatnya….saya masih bingung……klo yg bapak jlaskan diatas iya saya mengerti…..hanya saja saya penasaran dengan pandangan saya ama ni sol..maksudnya klo analisis saya salah…ga kebablasan amat salah jawabnya….terimah ksih sebelumnya…dengan respon jawaban yg diberikan…….salam….

  11. kalau kedua bilanga positif itu adalah bilangan bulat, maka kita tingggal memilih dari semua perkalian yg menghasilkan 16. yaitu 1 x 16, 2 x 8, 4 x 4.
    a. jumlah terkecil = 4 + 4 = 16
    b. kuadrat salah satu + yang lain, yang terkecil : 1 kuadrat + 16, 2 kuadrat + 8, 4 kuadrat + 4. yang terkecil 2^2 + 8 = 12

  12. terimah kasih pak penjelasannya….klo gini jelas berarti saya harus lebih giat lagi…..terimah kasih…salam….

  13. tuliskankan juga soal untuk SMA pak

  14. perbanyak lagi soal nya dong pak

  15. soal2 nih bagus bnget
    mksih…

  16. bapak sy punya pertanyaan …..*……. ……. =…… ……. …….. angka yg blh di gunakan cuma 1-6 tidak blh angka yang lain jadi berapa angka di titik titik yg kosong

    • Angka satuan dari dua bilangan yang dikali tidak boleh 1 (karena akan muncul bilangan yg sama), dan tidak boleh 5 (karena akan muncul kembali 5 atau 0)
      Jika angka pertama 2, maka paling rendah bilangan kedua adalah 53 (51 dan 52 tdk boleh??)
      Misalkan dua bilangan yang dikalikan adalah a * bc, dengan a,c ≠ 1,5
      Jika a = 2, maka c = 3, 4, 6 dan b paling rendah 5(supaya menghasilkan 3 angka)
      Karena 2*3 = 6, 2*4 = 8, 2*6 = 12, maka c yg berpeluang tinggal 3
      Yang berpeluang adalah 2*53 = 106 (tdk memenuhi)
      Jika a = 3, maka c = 2, 4, 6
      Karena 3*2 = 6, 3*4 = 12, dan 3*6 = 18, maka c yg berpeluang tinggal 2 dan 4
      Perkalian yang mungkin adalah 3*42(126), 3*52(152), 3*62(186), 3*54(162), 3*64(192), 3*46(138), dan 3*56(168)
      Dari hasil tersebut diperoleh 3*54 = 162
      Silahkan dilanjutkan untuk a = 4, 5, dan 6 untuk membuktikan apakah hasilnya UNIK (hanya satu)

  1. Ping-balik: BILANGAN | Trisia's Mathematics

  2. Ping-balik: BILANGAN | Trisia's Mathematics

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

  • Back Link

  • Ikuti

    Get every new post delivered to your Inbox.

    Bergabunglah dengan 105 pengikut lainnya.

    %d bloggers like this: