Bilangan Fibonacci

Dalam matematika, bilangan Fibonacci adalah barisanyang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:

   F(n)=    \begin{cases}     0, & \mbox{jika }n=0; \\     1, & \mbox{jika }n=1; \\     F(n-1)+F(n-2) & \mbox{jika tidak.}    \end{cases}

Penjelasan: barisan ini berawal dari 0 dan 1, kemudian angka berikutnya didapat dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya. Dengan aturan ini, maka barisan bilangan Fibonaccci yang pertama adalah:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…

Barisan bilangan Fibonacci dapat dinyatakan sebagai berikut:

Fn = (x1n – x2n)/ sqrt(5)

dengan

  • Fn adalah bilangan Fibonacci ke-n
  • x1 dan x2 adalah penyelesaian persamaan x2-x-1=0

Perbandingan antara Fn+1 dengan Fn hampir selalu sama untuk sebarang nilai n dan mulai nilai n tertentu, perbandingan ini nilainya tetap. Perbandingan itu disebut Golden Ratio yang nilainya mendekati 1,618.

ASAL MULA

Berdasarkan buku The Art of Computer Programing karya Donald E. Knuth, barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India, Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150, ketika menyelidiki berbagai kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong. Di dunia barat, barisan ini pertama kali dipelajari oleh Leonardo Da Pisa, yang juga dikenal sebagai Fibonacci (sekitar 1200), ketika membahas pertumbuhan ideal dari populasi kelinci.

PERHITUNGAN POPULASI KELINCI

Masalah asli yang diselidiki Fibonacci (tahun 1202) adalah tentang bagaimana kelinci bisa cepat berkembang biak dalam keadaan ideal.

Fluffy kelinci

Misalkan pasangan yang baru lahir dari kelinci, satu laki-laki, satu perempuan, diletakkan di lapangan. Kelinci dapat kawin pada usia satu bulan sehingga pada akhir bulan kedua wanita bisa menghasilkan sepasang kelinci. Misalkan kelinci kita tidak pernah mati dan bahwa wanita selalu menghasilkan satu pasangan baru (satu laki-laki, satu perempuan) setiap bulan dari bulan kedua. Teka-teki yang diajukan Fibonacci adalah …

Berapa banyak pasangan akan ada dalam satu tahun?

  1. Pada akhir bulan pertama, mereka pasangan, tetapi masih ada satu hanya 1 pasangan.
  2. Pada akhir bulan kedua wanita menghasilkan pasangan baru, jadi sekarang ada 2 pasang kelinci di lapangan.
  3. Pada akhir bulan ketiga, betina asli menghasilkan pasangan kedua, membuat 3 pasang di semua di lapangan.
  4. Pada akhir bulan keempat, wanita asli telah menghasilkan pasangan baru lagi, betina lahir dua bulan lalu menghasilkan pasangan pertama juga, membuat 5 pasang.



Jumlah pasangan kelinci di lapangan pada awal setiap bulan adalah 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

PERSEGI PANJANG FIBONACCI

Kita bisa membuat gambar lain menunjukkan angka Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21, .. jika kita mulai dengan dua persegi kecil ukuran 1 yang diletakan berdampingan. Di atas kedua persegi tersebut, kita buat lagi persegi ukuran 2 (= 1 +1). Selanjutnya kita buat lagi persegi baru – menyentuh salah satu sisi persegi kecil dan sisi persegi besar – sehingga memiliki panjang sisi 3 satuan, dan kemudian kita buat lagi persegi yang sisinya menyentuh sisi-sisi dari dua persegi satuan dan sisi persegi ukuran 3 (yang memiliki sisi 5 satuan) . Kita dapat terus menambahkan persegi di sekitar gambar, masing-masing persegi baru yang memiliki sisi yang panjangnya sama dengan jumlah panjang sisi dua persegi yang dibuat sebelumnya.

Dan hasilnya adalah sebagai berikut :

Kumpulan gambar seperti yang di buat di atas dinamakan Persegi panjang fibonacci.

Berikut adalah animasi gambar persegi panjang fibonacci

Dan jika ingin tahu 300 bilangan Fibonacci yang pertama [BUKA DISINI]

Sumber : id.wikipedia.org dan http://www.maths.surrey.ac.uk

About these ads

About labarasi

Guru Matematika

Posted on Januari 30, 2011, in Matematika and tagged , , , . Bookmark the permalink. 16 Komentar.

  1. adoh.. matematika :mrgreen:

  2. waow… fibonacci, matematikaa… :D

    trims udah maen pak, salam kenal :)

  3. Saya cenderung memakai Barisan Fibonacci yang 1, 1, 2, 3, 5,… Mas…
    Kalau pakai formula F(n) pun akan menghasilkan barisan yang sama, karena n dalam rumus barisan adalah bilangan asli {1, 2, 3, …}
    Jadi F(0) itu nggak ada.
    Di Wikipedia memang tertulis begitu tapi untuk hal tertentu Wikipedia nggak bisa dijadikan acuan.
    Trims

    • Yang Mas tulis itu kan ada penjelasannya, bahwa Fn adalah bilangan Fibonacci ke-n
      Itu maknanya, bilangan pertama ya F1.
      Jadi nggak ada F ke nol atau F nol

    • Salam Hormat Pak Marsudiyanto. Terima kasih banyak atas masukannya pak, iyah memang pengertian itu saya ambil dari wikipedia. Dan saya pikir bisa dibenarkan, agar ada beda antara Bilangan Fibonacci dengan Barisan Fibonacci. Sekali lagi, terima kasih banyak pak.

      • Pak Mars itu betul pak, saya sendiri kepada anyak-anyak juga nggak pernah ngajarken n = 0. Jadi baiknya tulisan di atas diedit pak, agar pembaca lain tidak salah paha. :lol:

  4. Wah, para pakar matematika sedang berdiskusi rupanya. Saya angkat tangan saja deh kalau matematika.

  5. Selamat siang pak …
    heee yang guru Biologi seperti saya mengambil haluar memilih minggir merapatkan barisan kesamping pak …
    sama seperti pak M. Mursyid PW saya juga angkat tangan kalu berurusan dengan matematika …

  6. Saya juga angkat tangan :)

  1. Ping-balik: Radio-Bayuputra.com siap mengudara « BayuPutra

  2. Ping-balik: luangkan waktu untuk Selamatkan Komodo « anugrha13

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

  • Back Link

  • Ikuti

    Get every new post delivered to your Inbox.

    Bergabunglah dengan 111 pengikut lainnya.

    %d blogger menyukai ini: