Pembinaan Olimpiade Matematika : Teori Bilangan

1. UJI HABIS DIBAGI

a. Suatu bilangan habis dibagi 5 jika dan hanya jika digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 0 atau 5

Contoh : 67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5.

b. Suatu bilangan habis dibagi 2n jika dan hanya jika n digit terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2n.

Contoh : 134576 habis dibagi 8 = 23 sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72)

4971328 habis dibagi 16 = 24 sebab 1328 habis dibagi 16

c. Suatu bilangan habis dibagi 3 jika dan hanya jika jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 3.

Contoh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.

d. Suatu bilangan habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9.

Contoh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9.

e. Suatu bilangan habis dibagi 11 jika dan hanya jika selisih antara jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi ganjil dengan jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi genap habis dibagi 11.

Contoh : 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) − (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis dibagi 11. Contoh bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.

2. Jika suatu bilangan habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka bilangan tersebut akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima. Berlaku sebaliknya.

Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.

3. Misalkan N jika dibagi p akan bersisa r. Dalam bentuk persamaan N = pq + r dengan p menyatakan pembagi, q menyatakan hasil bagi dan r menyatakan sisa.

Persamaan di atas sering pula ditulis N ≡ r (mod p)

4. Kuadrat suatu bilangan bulat bulat, habis dibagi 4 atau bersisa 1 jika dibagi 4. maka suatu bilangan bulat yang bersisa 2 atau 3 jika dibagi 4, bukanlah bilangan kuadrat. Pembuktian bisa dilakukan dengan menyatakan bahwa sebuah bilangan pasti akan termasuk salah satu dari bentuk 4k, 4k + 1, 4k + 2 atau 4k + 3 dilanjutkan dengan pengkuadratan masing-masing bentuk. Sedangkan bilangan kuadrat jika dibagi 3 akan bersisa 0 atau 1. Dan seterusnya untuk pembagi yang lain.

5. Angka satuan dari bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, 9.

6. Bilangan pangkat tiga (kubik) jika dibagi 7 akan bersisa 0, 1 atau 6. Cara pembuktian sama dengan pembuktian pada bilangan kuadrat.

7. Misalkan M = p1a1 ⋅ p2a2 ⋅ p3a3 ⋅ ⋅⋅⋅ pnan dan N = p1b1 ⋅ p2b2 ⋅ p3b3 ⋅ ⋅⋅⋅ pnbn maka :

Faktor Persekutuan Terbesar dari M dan N ditulis FPB (M, N) = p1c1 ⋅ p2c2 ⋅ p3c3 ⋅ ⋅⋅⋅ pncn

Kelipatan Persekutuan Terkecil dari M dan N ditulis KPK (M, N) = p1d1 ⋅ p2d2 ⋅ p3d3 ⋅ ⋅⋅⋅ pnbn

Dengan c1 = min (a1, b1) ; c2 = min (a2, b2) ; c2 = min (a3, b3) ; ⋅⋅⋅ ; cn = min (an, bn)

d1 = maks (a1, b1) ; d2 = maks (a2, b2) ; c3 = maks (a3, b3) ; ⋅⋅⋅ ; cn = maks (an, bn)

8. Dua bilangan dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB) sama dengan 1.

Contoh : 26 dan 47 adalah prima relatif sebab FPB 26 dan 47 ditulis FPB(26,47) = 1

9. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan asli berurutan adalah 1.

FPB (n, n + 1) = 1 dengan n adalah bilangan asli.

10. Jika x sebarang bilangan real, maka ⎿x⏌ menyatakan bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan x.

11. Tanda⎿ ⏌ dapat digunakan untuk menentukan nilai k bulat terbesar sehingga ak membagi n! dengan a merupakan bilangan prima dan “!” menyatakan faktorial.

Nilai k terbesar = 

Contoh : k terbesar yang membuat 3k membagi 28! =

12. Misalkan M = p1d1 ⋅ p2d2 ⋅ p3d3 ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ pndn dengan p1, p2, p3, ⋅⋅⋅, pn bilangan prima maka banyaknya pembagi (disebut juga dengan faktor) dari M adalah (d1 + 1)(d2 + 1)(d3 + 1) ⋅⋅⋅ (dn + 1).

Contoh : Banyaknya faktor dari 600 = 23 ⋅ 3 ⋅ 52 adalah (3 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 24

13. Jika X dinyatakan oleh perkalian n bilangan bulat berurutan maka X habis dibagi n! dengan tanda “!” menyatakan faktorial.

Contoh : 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 habis dibagi 4! = 24 karena 4, 5, 6 dan 7 adalah 4 bilangan bulat berurutan.

14. Untuk sebuah bilangan prima p dan sembarang bilangan bulat a, kita dapatkan p selalu membagi (ap − a). Ini disebut Teorema Kecil Fermat (Fermat Little Theorem). Penulisan dalam bentuk lain adalah ap − a ≡ 0 (mod p) atau dapat juga ditulis ap ≡ a (mod p).

15. Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat diubah ke dalam bentuk ba dengan a dan b masing-masing adalah bilangan bulat.

16.  (suatu bilangan yang terdiri dari n digit) dapat diuraikan menjadi A⋅10n-1 + B⋅10n-2 + C⋅10n-3 + D⋅10n-4 + ⋅⋅⋅ + N.

Contoh : 48573 = 4⋅104 + 8⋅103 + 5⋅102 + 7⋅10 + 3 = 40000 + 8000 + 500 + 70 + 3

SUMBER : Diktat Pembinaan Olimpiade Matematika – Edy Hermanto, ST

 

About these ads

About labarasi

Guru Matematika

Posted on April 15, 2011, in Matematika and tagged , , , , . Bookmark the permalink. Tinggalkan komentar.

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

  • Back Link

  • Ikuti

    Get every new post delivered to your Inbox.

    Bergabunglah dengan 111 pengikut lainnya.

    %d blogger menyukai ini: