SOAL SEDERHANA TAPI MENAWAN

Berikut ini adalah soal-soal yang memakai konsep dasar yang sederhana, namun dalam penyelesaiannya membutuhkan kepiawaian yang menawan. Soal-soal semacam ini menjadi salah satu trademark-nya soal kompetisi matematika. Hal yang patut diacungi jempol adalah kepiawaian perancang soal sehingga menghasilkan soal-soal yang membutuhkan penyelesaian yang menawan.

Soal-soal berikut saya kutip dari beberapa soal kompetisi matematika tingkat sekolah  dari beberapa tempat yaitu dari Math League, Mathcount, CHAMP Mathematic Contest, dan Asia Inter-Cities Teenagers Mathematics Olympiad.

SOAL 1

Jika a < b, maka 32 + 42 + 52 + 122 = a2 + b2 hanya dapat dipenuhi oleh sepasang bilangan bulat positif (a, b). Berapakah nilai a + b?

(Math League High School Mathematics Contest 2005)

Jawab :

Dengan cara manual :

32 + 42 + 52 + 122 = 9 + 16 + 25 + 144 = 25 + 169 = 52 + 132

Sehingga nilai a = 5 dan b = 13. Akibatnya a + b = 18

Dengan theorema phytagoras :

(32 + 42 )+ (52 + 122) = 52 + 132

Sehingga a + b = 18

Kejelian memanfaatkan theorema phytagoras ini sangat cocok untuk menyelesaikan soal berikut.

Jika a < b, maka 412 + 242 + 72 – 92 = a2 + b2 hanya dapat dipenuhi oleh sepasang bilangan bulat positif (a, b). Berapakah nilai a + b?

SOAL 2

Jika m dan n adalah bilangan bulat positif dan 3m + 9m + 27n + 81n = 204, berapakah hasil kali m dan n?

(Chapter CDR Mathcount 2010)

Jawab :

3m + 9m + 27n + 81n = 204

12m + 108n = 204

m + 9n = 17

Karena m dan n adalah bilangan bulat positif , maka n yang mungkin adalah 1 dengan m = 8. Akibatnya hasil kali m dan n adalah 8

SOAL 3

Jumlah dua bilangan adalah 30. Selisih dari dua kali bilangan terbesar dengan tiga kali bilangan terkecil adalah 5. Tentukan selisih positif dari kedua bilangan

(Chapter CDR Mathcount 2010)

Jawab :

Misalkan kedua bilangan adalah a dan b dengan a < b

Maka ada dua persamaan yang dapat dibentuk, yaitu :

a + b = 30

2b – 3a = 5

Dengan menggabungkan kedua persamaan, kita dapatkan nilai a = 11 dan b = 19

Sehingga selisih positifnya adalah 8

(Chapter CDR Mathcount 2010)

SOAL 4

Dari bilangan 1 sampai 9, yang bukan merupakan faktor dari 7y – 7y – 2 adalah …

(Grade 10 CHAMP Mathematics Contest 2010)

Jawab :

7y – 7y – 2 disederhanakan menjadi 7y – 7y /49 = 7y (1– 1/49) = 48/49 x 7y

Dari bilangan 1 sampai 9, yang merupakan faktor dari 7y hanya 1 dan 7, sedangkan faktor dari 48 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 8

Sehingga yang bukan sebagai faktor adalah 5 dan 9

SOAL 5

Susunlah bilangan – bilangan 2847, 3539, 5363, 7308, dan 11242 dari yang terbesar ke yang terkecil!

(2009 Asia Inter-Cities Teenagers Mathematics Olympiad)

Jawab :

bilangan – bilangan 2847, 3539, 5363, 7308, dan 11242 dapat kita ubah menjadi bilangan – bilangan 27 x 121, 37 x 77, 53 x 121, 74 x 77, dan 112 x 121

perhatikan yang berpangkat ‘sejenis’ :

27 x 121, 53 x 121, dan 112 x 121 , kita tinggal menguji 27, 53, dan 112

27 = 128, 53 = 125, 112 = 121. Ini berarti bahwa 27 x 121 > 53 x 121 > 112 x 121

Selanjutnya :

37 x 77, dan 74 x 77, kita cukup menguji 37 dan 74

37 = 2187, 74 =2401 . Sehingga 74 x 77 > 37 x 77

Sementara itu, 27 x 121 = 211 x 77 dan 211 = 2048, sehingga 74 x 77 > 37 x 77 > 211 x 77

Dan akhirnya kita dapat : 7308 > 3539 > 2847 > 5363 > 11242

Demikianlah postingan saya kali ini, saya mohon maaf bila terdapat kesalahan dan saya berharap kiranya kesalahan itu dapat diberitahukan kepada kami agar kami dapat memperbaikinya. SEMOGA BERMANFAAT.

About labarasi

Guru Matematika

Posted on Desember 30, 2010, in Matematika. Bookmark the permalink. Tinggalkan komentar.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

  • Back Link

  • %d blogger menyukai ini: