SOAL KIRIMAN YANG MENANTANG

Beberapa waktu lalu saya mendapat kiriman soal sebagai berikut :

13 – 23 + 33 – 43 + … + 493 – 503 = ….

Soal tersebut dapat kita tata ulang dalam bentuk berikut :

13 – 503 + (33 – 23) + (53 – 43) + … + (493 – 483)

1 – 125000 + (33 – 23) + (53 – 43) + … + (493 – 483)

– 124999 + (33 – 23) + (53 – 43) + … + (493 – 483)

Untuk (33 – 23) + (53 – 43) + … + (493 – 483) dapat kita sederhanakan sebagai berikut :

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Karena (a – b) = 1, maka

a3 – b3 = a2 + ab + b2

karena a2 + ab + b2 = (a – b)2 + 3ab, maka

a3 – b3 = (a – b)2 + 3ab

dan karena (a – b) = 1, maka

a3 – b3 = 1 + 3ab

sehingga

(33 – 23) + (53 – 43) + … + (493 – 483) dapat diubah menjadi 24 + 3(2.3 + 4.5 + 6.7 + … + 48.49)

Maka

(33 – 23) + (53 – 43) + … + (493 – 483) = 24 + 3 x ( 6 + 20 + 42 + 72 + … + 2352)

6 + 20 + 42 + 72 + … + 2352 membentuk deret aritmetika tingkat 3 dengan banyak suku 24 dan penyelesaiannya adalah sebagai berikut :

Misalkan jumlah n suku pertama adalah an3 + bn2 + cn + d

Jumlah suku

nilai

Selisih

Selisih

Selisih

Jml 1 suku

6

(a + b + c + d)

Jml 2 suku

26

(8a + 4b + 2c + d)

20

(7a + 3b +c)

Jml 3 suku

68

(27a + 9b + 3c + d)

42

(19a + 5b +c)

22

(12a + 2b)

Jml 4 suku

140

(64a + 16b + 4c + d)

72

(37a + 7b +c)

30

(18a + 2b)

8

(6a )

Jml 5 suku

250

110

38

8

8 = 6a, maka a = 8/6 = 4/3

12a + 2b = 22, maka = 3

7a + 3b + c = 20, maka c = 5/3

a + b + c + d = 6, maka d = 0

sehingga jumlah n suku pertama adalah an3 + bn2 + cn + d = 4/3n3 + 3n2 + 5/3n

karena banyak suku 24, maka jumlahnya = 4/3 x 243 + 3 x 242 + 5/3 x 24  = 20200

SEHINGGA HASILNYA ADALAH  – 1249999 + + 24 + 3 X 20200 = – 64375

MOHON KOREKSI ATAS KESALAHANNYA!!! TERIMA KASIH

About labarasi

Guru Matematika

Posted on Agustus 1, 2011, in Matematika and tagged , , . Bookmark the permalink. 1 Komentar.

  1. Hasilnya benar sekali pak, saya dapatnya juga sma. Bisa pakai identitas ini juga :
    1^3+2^3+3^3+………….+n^3=(1+2+3+……+n)^2. Jadi
    1^3-2^3+3^3-4^3+…………..+49^3-50^3
    =1^3+2^3+3^3+4^3+…………..+49^3+50^3-2(2^3+4^3+….+50^3)
    =1^3+2^3+3^3+4^3+…………..+49^3+50^3-2.2^3(1^3+2^3+….+25^3)
    =(1+2+3…+50)^2-16(1+2+3+….+25)^2
    =(51.25)^2-16(13.25)^2
    =(51.25)^2-4^2.13^2.25^2
    =25^2(51^2-52^2)
    =-625(51+52)
    =-625.103
    =-64375

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

  • Back Link

  • %d blogger menyukai ini: