Soal Olimpiade Matematika Tentang Lingkaran

Dua soal berikut sangat bagus untuk mengasah pengetahuan tentang lingkaran. Cobalah dikerjakan!

SOAL – 1

Pusat dari tiga buah lingkaran yang berjari-jari 2 terletak pada titik (0,0), (12,0), dan (0,5). Jika ketiga lingkaran tersebut adalah merupakan tiga buah kerekan, Berapa panjang sabuk yang digunakan untuk mengelilingi ketiga kerekan tersebut seperti yang ditunjukan pada gambar?

SOAL – 2

Dua buah lingkaran yang masing-masing berjari-jari 10 cm diletakan pada sebuah bidang datar dengan kedua lingkaran saling bersinggungan satu sama lain. Sebuah lingkaran kecil diletakan di antara kedua lingkaran besar tersebut sedemikian hingga lingkaran kecil menyinggung kedua lingkaran besar dan bidang datar. Berapakah jari-jari lingkaran kecil?

Jika ingin melihat jawaban dari kedua soal tersebut, silahkan klik kelanjutannya di bawah ini. Tapi jawaban tersebut belum pasti benar, untuk mari kita saling berbagi untuk memperkaya ilmu matematika kita

JAWABAN SOAL 1

Untuk mempermudah kita dalam menyelesaikan soal tersebut, kita dapat membuat detail gambar sebagai berikut :

Dari gambar tersebut, kita dapatkan :

AB = 5 = DE

BC = 12 = FG

CA = 13 = HI

Panjang busuf EF(kecil) = ¼ keliling lingkaran = ¼ x 2π x 2 = 2π

∠DAI + ∠DAB + ∠BAC + ∠CAI = 360⁰

∠DAI + 90⁰ + ∠BAC + 90⁰ = 360⁰

∠DAI + ∠BAC = 180⁰ ……………………. (1)

∠BCA + ∠ACH + ∠HCG + GCB = 360⁰

∠BCA + 90⁰ + ∠HCG + 90⁰ = 360⁰

∠BCA + ∠HCG = 180⁰ …………………..(2)

Berdasarkan segitiga ABC, maka ∠BCA + ∠BAC = 90⁰

Maka persamaan (1) dan (2) dapat disederhanakan menjadi ∠DAI + ∠HCG = 270⁰ ……………….. (3)

Panjang busur DI (kecil) = (∠DAI /360⁰) x keliling lingkaran = (∠DAI /360⁰) 4π

Panjang busur GH (kecil) = (∠HCG /360⁰) x keliling lingkaran = (∠HCG /360⁰) 4π

Panjang busur DI (kecil ) + Panjang busur GH (kecil) = (∠DAI /360⁰) 4π + (∠HCG /360⁰) 4π = 4π {(∠DAI + ∠HCG) / 360⁰}

Dengan menggunakan hasil (3), maka kita dapatkan

Panjang busur DI (kecil ) + Panjang busur GH (kecil) = 4π (270⁰/360⁰) = 3π

Panjang sabuk yang digunakan adalah = DE + FG + HI + Panjang busuf EF(kecil) + Panjang busur DI (kecil ) + Panjang busur GH (kecil) = 5 + 12 + 13 + 2π + 3π =30 + 5π

JAWABAN SOAL 2

Gambar tersebut dapat kita tambahkan detail sebagai berikut :

Dari gambar tersebut, kita dapatkan :

AC = 10 + r, dengan r = jari-jari lingkaran kecil

FC = 10

AF = 10 – r

Dengan theorema phytagoras, maka kita peroleh :

(10 + r)² = (10 – r)² + 10²

100 + 20r + r² = 100 – 20r + r² + 100

40r = 100

r = 2,5 cm